SpinOff: Higgs & QTF (ruht in jedem IS ruht ein Äther)

Die Quantenphysik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit dem Verhalten und der Wechselwirkung sehr kleiner Systeme befasst. Messungen an Molekülen und noch kleineren Systemen liefern Ergebnisse, die der klassischen Physik widersprechen. Insbesondere sind bestimmte Größen quantisiert, das heißt, sie können nicht beliebige, sondern nur bestimmte diskrete Werte annehmen, die sich um sogenannte „Quanten“ unterscheiden. Der Begriff „Quantenphysik“ wird nicht als eindeutig definierte Bezeichnung einer bestimmten physikalischen Theorie verwendet, sondern als Sammelbegriff für verschiedene Quantentheorien.

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Re:

Beitragvon Solkar » Montag 30. Juli 2012, 12:49

@nocheinPoet

Schon am \(ℝ^2\) lassen sich einige Konzepte erklären.

Addieren von 2-Tupeln ist intuitiv klar - Komponenten einzeln addieren (graphisch ein "Aneinanderhängen").
Multipizieren von 2-Tupeln mit einer (reellen) Zahl \(\lambda\) ist auch intuitiv klar - Komponenten jeweils mit der Zahl multplizieren (graphisch ein "Strecken" resp "Stauchen").

Mit etwas formalem Schnickschnack kann man zeigen, dass die Menge der ℝ²-Tupel zusammen mit jenen Verknüpfungen einen Vektorraum (VR) ("über ℝ") bildet.

---

Was aber man noch nicht hat, ist eine k-Algebra dazu, auf Deutsch eine Multiplikation von zwei Vektoren, die wieder einen Vektor erzeugt.

Eine Algebra dazu ist diejenige, die (0,1) ☉ (0,1) auf (-1, 0) abbildet, anders gesagt, die Multiplikation, die die Eigenschaften der Multiplkation von komplexen Zahlen aufweist - setze "i" := (0,1); "-1" = (-1, 0), dann steht da i ☉ i = -1.

Diese Multiplikation lässt sich auch durch Matrizen beschreiben; setze
$$i \equiv \left(\begin{array}{c c}&0 &{-1}\\&{1} &0\end{array}\right),\quad -1 \equiv \left(\begin{array}{c c}&-1 &0\\&0 &{-1}\end{array}\right)$$
dann erhält man mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als "☉"
$$i ☉ i \equiv \left(\begin{array}{c c}&0 &{-1}\\&{1} &0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c c}&0 &{-1}\\&{1} &0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}&-1 &0\\&0 &{-1}\end{array}\right) \equiv -1.$$

---

Hier geht es jetzt um Repräsentationen sog. Clifford Algebren, als einer Art von Weiterentwicklung obiger Idee der Einführung einer multiplikativen Verknüpfung auf VR.

Motiviert wird das ganze Geknobel u.a. durch die Herleitung einer relativistischen Theorie des Elektrons durch Paul Dirac in [Dir30] §§66ff; vereinfacht gesagt kommt Dirac mittels einer Art Koeffizientenanalyse zu Gleichungen von der Form der Definitionsgleichung von Clifford-Algebren.


Grüsse,

Solkar


[Dir30] Dirac, Paul Adrien Maurice: The principles of quantum mechanics. International series of monographs on physics. Clarendon Press, Oxford, 4th ed. reprint 2011, 1st ed. 1930
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Re: Re:

Beitragvon Uli » Montag 30. Juli 2012, 23:52

Solkar hat geschrieben:@Uli
Solkar hat geschrieben:Wie kommt dabei solch hein Unterschied im Trafo-Verhalten zustande?
Eigentlich eine dumme Frage von mir - wenn man etwas anderes reinsteckt, kommt halt oft auch etwas anderes raus... :D

Seien die Spinoren \(\xi_{\alpha}\) und \(\eta^{\dot{\alpha}}\) durch 2x2 Matrizen dargestellt.
Wenn \(\xi_{\alpha}\) niedrigeren Rang als \(\eta^{\dot{\alpha}}\) hätte, könnte ich mir den Unterschied im Trafo-Verhalten erklären.

Gilt das?

Grüsse,

Solkar


Sorry Solkar, ich bin gerade etwas abgelenkt und nicht ganz so oft hier.

Du fragst danach, wie das unterschiedliche Verhalten der links- und rechtshändigen Spinoren in \(SU(2)_{L}\) - Transformationen zustande kommt. Das liegt ja in der Natur dieser Transformationen.
Diese Gruppe von Eichtransformationen der elektroschwachen Theorie wirkt auf die linkshändigen Fermionendubletts, z.B. die 4- Spinoren von u- und d-Quark, die ja zusammen ein SU(2)-Dublett bilden:

\((u, d)_{L} -> (u, d)_{L}' = exp{\left(\frac{i}{\lambda} \vec{\Theta} (x) \cdot \vec{T}\right)} (u, d)_{L}\)

Die rechtshändigen Fermionen sind von dieser Transformation gar nicht betroffen. Das ist der Grund, warum der weiter oben angesprochene Massenterm im Lagrangian

\(m(\overline{\psi}_{L} {\psi}_ {R} \ + \overline{\psi}_{R} {\psi}_ {L})\)

nicht invariant unter der Transformationen von \(SU(2)_{L}\) sein kann: die linkshändigen Anteile der Produkte verändern sich, die rechtshändigen aber nicht, und können diese Änderung deshalb nicht kompensieren um die Invarianz des Massenterms zu garantieren. Anders nach dem Trick von Higgs; in den Massentermen tauchen nun auch die Kopplungen an das Higgs auf, welches selbst nichttrivial unter \(SU(2)_{L}\) transformiert und deshalb geeignet ist einen invarianten Massenterm zu sichern.


Siehe z.b. auch Greiner , Seite 190

Sorry, dass ich nicht auf deine konkrete Frage eingehe; habe ich nicht verstanden oder muss ich nochmal drüber nachdenken.

Gruss,
Uli
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Re: Re:

Beitragvon Solkar » Dienstag 31. Juli 2012, 01:29

Hallo Uli!

Uli hat geschrieben:Diese Gruppe von Eichtransformationen der elektroschwachen Theorie wirkt auf die linkshändigen Fermionendubletts, z.B. die 4- Spinoren von u- und d-Quark, die ja zusammen ein SU(2)-Dublett bilden: \((u, d)_{L} -> (u, d)_{L}' = exp{\left(\frac{i}{\lambda} \vec{\Theta} (x) \cdot \vec{T}\right)} (u, d)_{L}\)


Uli hat geschrieben:Die rechtshändigen Fermionen sind von dieser Transformation gar nicht betroffen.


Angenommen, ich wollte auf blauen Dunst hin diesen Term
$$ \mathcal{L}_m = m \overline{\psi}\psi = (\xi^*, \eta^*)\ \gamma^0 \left(\begin{array}{c}\xi\\ \eta\end{array}\right)$$
SU(2) transformieren - z.B. um eben überhaupt erkennen zu können, dass das nicht invariant wäre.

Da versteh ich nicht, wie man da formal korrekt SU(2) Matrizen derart reinmultipizieren könnte, das sie nicht auch automatisch auf die \(\xi\) - Komponenten wirken würden (deshalb meine obige Idee hinsichtlich der "Ränge").


Grüsse,

Solkar
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Re: Re:

Beitragvon Uli » Dienstag 31. Juli 2012, 11:49

Solkar hat geschrieben:Hallo Uli!

Uli hat geschrieben:Diese Gruppe von Eichtransformationen der elektroschwachen Theorie wirkt auf die linkshändigen Fermionendubletts, z.B. die 4- Spinoren von u- und d-Quark, die ja zusammen ein SU(2)-Dublett bilden: \((u, d)_{L} -> (u, d)_{L}' = exp{\left(\frac{i}{\lambda} \vec{\Theta} (x) \cdot \vec{T}\right)} (u, d)_{L}\)


Uli hat geschrieben:Die rechtshändigen Fermionen sind von dieser Transformation gar nicht betroffen.


Angenommen, ich wollte auf blauen Dunst hin diesen Term
$$ \mathcal{L}_m = m \overline{\psi}\psi = (\xi^*, \eta^*)\ \gamma^0 \left(\begin{array}{c}\xi\\ \eta\end{array}\right)$$
SU(2) transformieren - z.B. um eben überhaupt erkennen zu können, dass das nicht invariant wäre.



Das wird alles recht schwierig aufzuschreiben (stehe mit Latex auf dem Kriegsfuss) und man muss höllisch aufpassen, dass man die unterschiedlichen "Räume" nicht verwechselt. Die Art und Weise, wie sich der von dir hingeschriebene Ausdruck transformiert, hängt nun davon ab, für welche Komponente eines Fermion-Dubletts du ihn hingeschrieben hast: die Up-Komponenten, charakterisiert durch t3=+1/2 (u-quark, neutrino, ...) transformiert ja anders als die Down-Komponente mit t3=-1/2 (d-quark, elektron, ...) eines Dubletts (t3 dabei die Quantenzahl der 3. Komponente des Isospins). Der Einfachheit halber lass uns mal für die Fkt \(\vec{\Theta} (x)\) von oben

\(\vec{\Theta} (x) = (a, 0, 0)\)

wählen. a sei ein sehr kleiner Winkel, der rechtfertigt, dass wir in der Taylorentwickung des Exponenten in

\((u, d)_{L} -> (u, d)_{L}' = exp{\left(\frac{i}{\lambda} \vec{\Theta} (x) \cdot \vec{T}\right)} (u, d)_{L}\)

Terme O(a^2) und höher ignorieren dürfen. Wie diese Taylorentwicklung geht, findest du z.B. hier
http://www.nikhef.nl/~t45/ftip/AppendixC.pdf

Formel (C.30) ff.

Ich komme dann auf die Transformationsgleichung

\((u, d)_{L} -> (u, d)_{L}' = U * (u, d)_{L}\)

mit

$$U = \left(\begin{array}{c c}&1 &{i*a/2}\\&{i*a/2} &1\end{array}\right)\quad $$

also:

\(u_{L}' = u_{L} +i*(a/2)d_{L}\)

\(d_{L}' = i*(a/2)u_{L} +d_{L}\)


Nun kannst du, falls gewünscht, \(u_{L}\) und \(d_{L}\) wiederum durch die 2-Spinoren von oben ausdrücken:

\(u_{L} = (\xi_{u}, \eta_{u})\)
\(d_{L} = (\xi_{d}, \eta_{d})\)

und ausmultiplizieren.
Was hier vielleicht verwirrt hatte, die 2x2 Trasnformationsmatrizen der \(SU(2)_{L}\) wirken nicht auf die 2-Spinoren \( (\xi, \eta)\) sondern auf die up- und down-Komponenten der SU(2)-Dubletts, d.h. auf unterschiedliche "Teilchen". Die 2 Komponenten eines SU(2) Basiszustandes sind jeweils Lösungen der DIracgleichung, d.h. die 4-Spinoren.

Ich hoffe, das war ein bisschen hilfreich?

Gruss,
Uli
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Re: Re:

Beitragvon Solkar » Dienstag 31. Juli 2012, 17:10

Hallo Uli!

Erstmal nochmal vielen Dank für die Mühe, die Du hier machst!

Uli hat geschrieben:$$U = \left(\begin{array}{c c}&1 &{i*a/2}\\&{i*a/2} &1\end{array}\right)\quad $$

\(A \in SU(2) \Rightarrow \det{A} = 1\) aber \(\det{U} = 1 + \frac{a^2}{4}\).
Die Abweichung kommt durch die Vernachlässigung quadratischer und höherer Glieder der Taylor-Reihe zustande, richtig?

---

Nochmal zur begrifflichen Klärung:

Uli hat geschrieben:Was hier vielleicht verwirrt hatte, die 2x2 Trasnformationsmatrizen der \(SU(2)_{L}\) wirken nicht auf die 2-Spinoren \( (\xi, \eta)\)
Wer ist da jetzt "2-Spinor"?
Jeweils \(\xi\) und \(\eta\) für sich oder der ganze Klammer-Term?

Uli hat geschrieben:sondern auf die up- und down-Komponenten der SU(2)-Dubletts, d.h. auf unterschiedliche "Teilchen".
Ein physikalisches "Dublett wird also gemeinhin durch einen Spalten/Zeilen-Vektor resp eine Spalten/Zeilen-Matrix dargestellt; zumindest entnehme ich das so [NN11] eq (11.46). Korrekt?

Uli hat geschrieben:Die 2 Komponenten eines SU(2) Basiszustandes sind jeweils Lösungen der Diracgleichung, d.h. die 4-Spinoren.

Welche Grieche (\(\psi, \eta, \xi, (\xi, \eta)\),...), der vor des Higgs hehren Mauern lagert, ist hier jetzt "Basiszustand" und welcher ist "4-Spinor"?

Ich kann mir dazu zwar jeweils etwas "guessen", aber ich bin davon ab, mein guessing in Bezug auf die QFT für iwie educated oder gar korrekt zu halten. :D

---

Insgesamt versteh ich noch nicht, wie diese Ausführungen
[NN11] S.108 oben hat geschrieben:[...]where \(\psi_L\) is a component of the \(SU(2)_L\)-doublet \(\chi_L\) , and \(\psi_R\) is an \(SU(2)_L\) -singlet. Because
of its form, this mass term cannot be invariant under the action of the gauge group \(SU(2)_L\) (\(\psi_R\) transforms trivially, whereas \(\psi_L\) necessarily changes)

mit Deinen Ausführungen kongruent zu machen wären; N.N. macht hier Aussagen gerade über die Transformation der R- und L-Komponenten, die ich oben herausprojeziert und mit \(\xi\) und \(\eta\) identifiziert hatte.


Viele Grüsse,

Solkar


[NN11] N.N.: Electroweak interactions, 2011. Available from WWW: http://www.itp.phys.ethz.ch/education/l ... PP2_11.pdf
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Re: Re:

Beitragvon Uli » Donnerstag 2. August 2012, 11:42

Hi Solkar,

Solkar hat geschrieben:...
Uli hat geschrieben:$$U = \left(\begin{array}{c c}&1 &{i*a/2}\\&{i*a/2} &1\end{array}\right)\quad $$

\(A \in SU(2) \Rightarrow \det{A} = 1\) aber \(\det{U} = 1 + \frac{a^2}{4}\).
Die Abweichung kommt durch die Vernachlässigung quadratischer und höherer Glieder der Taylor-Reihe zustande, richtig?


So ist es.

Solkar hat geschrieben:Nochmal zur begrifflichen Klärung:

Uli hat geschrieben:Was hier vielleicht verwirrt hatte, die 2x2 Trasnformationsmatrizen der \(SU(2)_{L}\) wirken nicht auf die 2-Spinoren \( (\xi, \eta)\)
Wer ist da jetzt "2-Spinor"?
Jeweils \(\xi\) und \(\eta\) für sich oder der ganze Klammer-Term?



Du hattest \(\xi\) und \(\eta\) ja weiter oben implizit definiert über:

I. \(P_L = \frac{1 - \gamma_5}{2} \equiv \frac{I_2 - \gamma_5}{2} = \left(\begin{array}{c c} 0\,0\\0\,1\end{array}\right)\), und wenn ich das von links auf \(\psi = \left(\begin{array}{c c} \xi\\ \eta\end{array}\right)\) wirken lasse, erhalte ich \(P_L\psi = \left(\begin{array}{c c} 0\\ \eta\end{array}\right)\)

\(\psi)\) war dabei ja ein Dirac-Spinor, also formal ein Spaltenvektor mit 4 Komponenten.
Dann sind \(\xi\) und \(\eta\) 2-Spinoren, von denen der erstere im nichtrelativistischen Grenzfall in den 2-Spinor der Pauli-Gleichung übergeht. \(\xi\) und \(\eta\) enstprechen also jeweils 2-Spinoren.

Solkar hat geschrieben:
Uli hat geschrieben:sondern auf die up- und down-Komponenten der SU(2)-Dubletts, d.h. auf unterschiedliche "Teilchen".
Ein physikalisches "Dublett wird also gemeinhin durch einen Spalten/Zeilen-Vektor resp eine Spalten/Zeilen-Matrix dargestellt; zumindest entnehme ich das so [NN11] eq (11.46). Korrekt?

Uli hat geschrieben:Die 2 Komponenten eines SU(2) Basiszustandes sind jeweils Lösungen der Diracgleichung, d.h. die 4-Spinoren.

Welche Grieche (\(\psi, \eta, \xi, (\xi, \eta)\),...), der vor des Higgs hehren Mauern lagert, ist hier jetzt "Basiszustand" und welcher ist "4-Spinor"?


Die SU(2)-Transformationen des Isospins sollen ja so etwas wie die Ladungsunabhängigkeit der Wechselwirkung demonstrieren - ursprünglich ging es mal um Proton, Neutron und Ladungsunabhängigkeit der Kernkräfte: dort haben wir einen Zustand "Isospin-Up" = (1, 0) , der einem Proton entspricht und (0, 1) einem Neutron. Bei der elektroschwachen SU(2) haben wir u-quark = (1,0), und d-quark=(0,1) so wie Leptonen und ihre Neutrinos. Der Raum, den wir weiter oben im Thread angeschnitten haben, ist so etwas wie das "äußere Produkt" dieses 2-komponentigen Isopspinraumes mit dem 4-Raum der Dirac-Spinoren.
Oben hatten wir

\(u_{L} = (\xi_{u}, \eta_{u})\)
\(d_{L} = (\xi_{d}, \eta_{d})\)

Ein Zustand auf den die SU(2)-Trafos wirken, wäre dann \((u_{L}, d_{L}) = ( (\xi_{u}, \eta_{u}),(\xi_{d}, \eta_{d}))\)
also insgesamt 8 Komponenten enthalten, da \(\xi\) und \(\eta\) bereits 2-Spinoren sind, wobei die 2x2-Matrix der SU(2) auf \((u_{L}, d_{L})\) wirkt:
\(\xi_{u}\) und \(\eta_{u}\) bzw. die je 2 Unterkomponenten davon werden aufgrund der SU(2)-Trafo also alle mit demselben Faktor multipliziert.

Je nach dem, was man demonstrieren will, bieten sich unterschiedlichen Schreibweisen an.
Gruss,
Uli
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Re: Re:

Beitragvon Solkar » Freitag 3. August 2012, 11:33

Hallo Uli!

Uli hat geschrieben:Ein Zustand auf den die SU(2)-Trafos wirken, wäre dann \((u_{L}, d_{L}) = ( (\xi_{u}, \eta_{u}),(\xi_{d}, \eta_{d}))\)
also insgesamt 8 Komponenten enthalten, da \(\xi\) und \(\eta\) bereits 2-Spinoren sind, wobei die 2x2-Matrix der SU(2) auf \((u_{L}, d_{L})\) wirkt:
\(\xi_{u}\) und \(\eta_{u}\) bzw. die je 2 Unterkomponenten davon werden aufgrund der SU(2)-Trafo also alle mit demselben Faktor multipliziert.
Vielen Dank!

Solche klare und eineindeutige Sprache sollte eigentlich für Lehrliteratur Pflicht sein; mache Lehrbuchautoren scheinen davon auszugehen, dass man ihren Ausführungen von Anfang bis Ende die gleiche Aufmerksamkeit widmet iwe mittelalterliche Mönche der hl. Schrift; Praxis ist aber meiner Erfahrung aber eher, dass man kursbegleitend oder später querlesend damit umgeht; und dann sollte man mit vetretbarem Aufwand auffinden können, was der Autor nun mit welchem Symbol meint.


Nur verstehe ich immer noch nicht wie N.N. hier
[NN11] S.108 oben hat geschrieben:[...]where \(\psi_L\) is a component of the \(SU(2)_L\)-doublet \(\chi_L\) , and \(\psi_R\) is an \(SU(2)_L\) -singlet. Because
of its form, this mass term cannot be invariant under the action of the gauge group \(SU(2)_L\) (\(\psi_R\) transforms trivially, whereas \(\psi_L\) necessarily changes)

einmal eine Komponente eines Dubletts und einmal ein Singlet aus den Termen herausrechnet; wenn man quadratische Matrizen auf "irgendwas" wirken lässt, ändern sich die Ergebnisse zwar quantitativ entsprechend der verwendeten Matrizen, aber an der Form des Ergebnisses ändert sich nichts (bis auf etwaige Transposition wie oben angewandt, je nachdem auf welcher Seite man die Matrix dranmultipliziert).

Desweiten wirken die Trafo-Matrizen "A" eben auf die Dubletts, somit (A-komponentenweise) auf die enthaltenen Bispinoren und somit eben auch (mittels s-Multiplikation und Summation) auf deren \(\xi\)-Komponenten.


Grüsse,

Solkar


[NN11] N.N.: Electroweak interactions, 2011. Available from WWW: http://www.itp.phys.ethz.ch/education/l ... PP2_11.pdf[/quote]
"Was macht die Bratze da auf dem Sofa?"
Aus einem "Jungen Deutschen Film" - Ausspruch einer aufgeräumt wirkenden Nackten, die am Spätvormittag in ein WG-Zimmer voller bekleideter, aber derangiert wirkender Männer tritt.
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