@nocheinPoet
Schon am \(ℝ^2\) lassen sich einige Konzepte erklären.
Addieren von 2-Tupeln ist intuitiv klar - Komponenten einzeln addieren (graphisch ein "Aneinanderhängen").
Multipizieren von 2-Tupeln mit einer (reellen) Zahl \(\lambda\) ist auch intuitiv klar - Komponenten jeweils mit der Zahl multplizieren (graphisch ein "Strecken" resp "Stauchen").
Mit etwas formalem Schnickschnack kann man zeigen, dass die Menge der ℝ²-Tupel zusammen mit jenen Verknüpfungen einen Vektorraum (VR) ("über ℝ") bildet.
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Was aber man noch nicht hat, ist eine k-Algebra dazu, auf Deutsch eine Multiplikation von zwei Vektoren, die wieder einen Vektor erzeugt.
Eine Algebra dazu ist diejenige, die (0,1) ☉ (0,1) auf (-1, 0) abbildet, anders gesagt, die Multiplikation, die die Eigenschaften der Multiplkation von komplexen Zahlen aufweist - setze "i" := (0,1); "-1" = (-1, 0), dann steht da i ☉ i = -1.
Diese Multiplikation lässt sich auch durch Matrizen beschreiben; setze
$$i \equiv \left(\begin{array}{c c}&0 &{-1}\\&{1} &0\end{array}\right),\quad -1 \equiv \left(\begin{array}{c c}&-1 &0\\&0 &{-1}\end{array}\right)$$
dann erhält man mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als "☉"
$$i ☉ i \equiv \left(\begin{array}{c c}&0 &{-1}\\&{1} &0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c c}&0 &{-1}\\&{1} &0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}&-1 &0\\&0 &{-1}\end{array}\right) \equiv -1.$$
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Hier geht es jetzt um Repräsentationen sog. Clifford Algebren, als einer Art von Weiterentwicklung obiger Idee der Einführung einer multiplikativen Verknüpfung auf VR.
Motiviert wird das ganze Geknobel u.a. durch die Herleitung einer relativistischen Theorie des Elektrons durch Paul Dirac in [Dir30] §§66ff; vereinfacht gesagt kommt Dirac mittels einer Art Koeffizientenanalyse zu Gleichungen von der Form der Definitionsgleichung von Clifford-Algebren.
Grüsse,
Solkar
[Dir30] Dirac, Paul Adrien Maurice: The principles of quantum mechanics. International series of monographs on physics. Clarendon Press, Oxford, 4th ed. reprint 2011, 1st ed. 1930