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Also wie ich Ernst in jenem Thread dort verstehe, bringt er inzwischen Beobachter und IS durcheinander.
Sieht so aus, als ob er sich bei López angesteckt hat
Oder ein anderer Ernst mit gestiegener Aggressivität bei gesunkener Kompetenz.

Uli hat geschrieben:Es gilt
\({\psi}_{L} = P_{L} {\psi} \)
\({\psi}_{R} = P_{R} {\psi} \)
und
\(\overline{\psi}_{R} = \overline{\psi} P_{L} \)
\(\overline{\psi}_{L} = \overline{\psi} P_{R} \)
Die Rolle der Projektoren bei den Adjungierten ist gerade umgedreht.

Dazu wg http://www.ippp.dur.ac.uk/~krauss/Lectu ... ons_1.html erstmal
I. \(P_L = \frac{1 - \gamma_5}{2} \equiv \frac{I_2 - \gamma_5}{2} = \left(\begin{array}{c c} 0\,0\\0\,1\end{array}\right)\), und wenn ich das von links auf \(\psi = \left(\begin{array}{c c} \xi\\ \eta\end{array}\right)\) wirken lasse, erhalte ich \(P_L\psi = \left(\begin{array}{c c} 0\\ \eta\end{array}\right)\)

Ist das Gleichheitszeichen, das aaO rechts in der zweiten Zeile steht i.S.e Identifikation durch Isomorphie, so i.S.v.\(ℂ \ni (42, 0) "=" 42 \in ℝ\) zu verstehen?

II Ich les \(\overline{\psi}\) so
\(\overline{\psi} = \psi^{\dagger} \gamma^0 = (\psi^{*})^{T} \gamma^0.\)
Stimmt das hier eigentlich?

Grüsse,

Solkar

Solkar hat geschrieben:...
Dazu wg http://www.ippp.dur.ac.uk/~krauss/Lectu ... ons_1.html erstmal
I. \(P_L = \frac{1 - \gamma_5}{2} \equiv \frac{I_2 - \gamma_5}{2} = \left(\begin{array}{c c} 0\,0\\0\,1\end{array}\right)\), und wenn ich das von links auf \(\psi = \left(\begin{array}{c c} \xi\\ \eta\end{array}\right)\) wirken lasse, erhalte ich \(P_L\psi = \left(\begin{array}{c c} 0\\ \eta\end{array}\right)\)

Ist das Gleichheitszeichen, das aaO rechts in der zweiten Zeile steht i.S.e Identifikation durch Isomorphie, so i.S.v.\(ℂ \ni (42, 0) "=" 42 \in ℝ\) zu verstehen?

Ich fürchte, ich verstehe die Frage nicht wirklich. Vielleicht ist die Schreibweise in dem verlinkten Papier einfach etwas ungewohnt und erklärungsbedürftig.
Dirac-Spinoren haben ja 4 (komplexwertige) Komponenten und die Dirac'schen Gamma-Matrizen sind komplexwertige 4x4 -Matrizen.

Schreibweisen wie



oder



sind oft nützlich, da in vielen Fällen die oberen 2 und die unteren 2 Spinorkomponenten voneinander entkoppeln (z.B. wenn es annähernd nichtrelativistisch wird). Deshalb macht es oft Sinn, statt explizit die 4 Komponenten hinzuschreiben sich auf die 2x2 Unterräume zu beziehen. Ist m.E. nichts als eine abkürzende Schreibweise.

Solkar hat geschrieben:II Ich les \(\overline{\psi}\) so
\(\overline{\psi} = \psi^{\dagger} \gamma^0 = (\psi^{*})^{T} \gamma^0.\)
Stimmt das hier eigentlich?

Ich denke, das ist so wie du schreibst.

Gruss,
Uli

Egal, ob man nun das nun mit 4er- oder 2er Matrizen rechnet, aaO steht
\(P_L\psi = \eta\)
also rechts kein 2-"Tupel" mehr.

Dass das "Tupel", das ich errechnet habe, nicht maximalen Rang hat, und deshalb eine triviale Isomorphie zu \(\eta\) führt, ist mir klar; mir geht's nur darum, im Weiteren korrekt zu rechnen, deshalb die Korinthenhackerei.

Uli hat geschrieben:

Solkar hat geschrieben:II Ich les \(\overline{\psi}\) so
\(\overline{\psi} = \psi^{\dagger} \gamma^0 = (\psi^{*})^{T} \gamma^0.\)
Stimmt das hier eigentlich?

Ich denke, das ist so wie du schreibst.

Dann versuch ich jetzt mal, \(\overline{\psi}P_L\) auszurechnen:

$$\overline{\psi}P_L = (\psi^{*})^{T} \gamma^0 P_L = \left(\xi^{*}, \eta^{*}\right) \left( \begin{array}{c c}&0\,&{-1}\\&{-1}\,&0\end{array}\right) \left( \begin{array}{c c}&0\,&0\\&0\,&{1}\end{array}\right) = \left(\xi^{*}, \eta^{*}\right) \left( \begin{array}{c c}&0\,&{-1}\\&{0}\,&0\end{array}\right) = \left(0, -\xi^{*}\right).$$

Korrekt?

Mojn Solkar, bekomme ich auch heraus; so wird es wohl sein.
Gruss,
Uli

Hallo Uli!

Derart gerüstet möchte ich jetzt mal auf Trafo-Verhalten und insbesondere hierauf

[NN11] S.108 oben hat geschrieben:[...]where \(\psi_L\) is a component of the \(SU(2)_L\)-doublet \(\chi_L\) , and \(\psi_R\) is an \(SU(2)_L\) -singlet. Because
of its form, this mass term cannot be invariant under the action of the gauge group \(SU(2)_L\) (\(\psi_R\) transforms trivially, whereas \(\psi_L\) necessarily changes).

los.

Das, was oben mit \(P_L\) gemacht wurde, kann man sinngemäss auch mit \(P_R\) veranstalten; die Form des Rechenweges und die anzuwendenden Operationen ändern sich zumindest qualitativ nicht.
Wie kommt dabei solch hein Unterschied im Trafo-Verhalten zustande?

Aus den Indices \(\alpha\) resp. \(\dot{\alpha}\), die in [Kra05-1] \(\xi\) resp. \(\eta\) qualifizieren würde ich entnehmen, dass jene Komponenten wie komplexe (0,1) resp (1,0) Tensoren transformieren, aber offenbar passiert da ja noch mehr und das entgeht mir iwie noch.
.

Grüsse,

Solkar


[NN11] N.N.: Electroweak interactions, 2011. Available from WWW: http://www.itp.phys.ethz.ch/education/l ... PP2_11.pdf
[Kra05-1] Krauss, Frank: Quarks and Leptons, Lecture, Available from WWW: http://www.ippp.dur.ac.uk/~krauss/Lectu ... ons_1.html

@Uli

Solkar hat geschrieben:Wie kommt dabei solch hein Unterschied im Trafo-Verhalten zustande?

Eigentlich eine dumme Frage von mir - wenn man etwas anderes reinsteckt, kommt halt oft auch etwas anderes raus...

Seien die Spinoren \(\xi_{\alpha}\) und \(\eta^{\dot{\alpha}}\) durch 2x2 Matrizen dargestellt.
Wenn \(\xi_{\alpha}\) niedrigeren Rang als \(\eta^{\dot{\alpha}}\) hätte, könnte ich mir den Unterschied im Trafo-Verhalten erklären.

Gilt das?

Grüsse,

Solkar

Ich verstehe nur Bahnhof...