1-Quadratur des Kreises ist das größte wissenschaftliche Geheimnis der Geschichte, die mit dem goldenem Schnitt zusammenhängt.
Ralf war so nett mich zu korrigieren, dass die Transzendenz (nicht alleine die Irrationalitaet) von Pi eine Quadratur des Kreises ausschliesst. Und die Transzendenz von Pi ist bewiesen. Elfenpfad braucht sich somit erst gar keinen Zirkel zu kaufen.
Pi, exp(1), Wurzel(2) ... sind besondere Zahlen in dem Sinne, das sie spezielle Eigenschaften aufweisen, die man auch geometrisch darstellen kann. Der goldene Schnitt phi=(1+-Wurzel(5))/2 stellt ebenfalls eine solche Zahl dar, wobei die besonderen Eigenschaften nicht sofort erkennlich sind. Diese spielen in der Natur jedoch eine grosse Rolle, in der linearen Physik dagegen weniger. Ein Fuenfeck ist ein typischer Repraesentant des goldenen Schnittes .Es gibt unzaehlige Beispiele fuer die besondere Rolle dieser Zahl in der Natur. Wie kann man diese Eigenschaft nun am treffendsten charakteriesieren ohne sich ins Mythische zu begeben ?
1) Der Grenzwert limes n->00 fib(n+1)/fib(n) konvergiert gegen den goldenen Schnitt.
Dabei ist fib(n) die n te Fibonaccizahl. phi ist die Loesung des charakteristischen Polynoms der Fibonacci Differenzengleichung.
2) Der goldene Schnitt ist im Sinne einer Bruchapproximation und Kriterium von Louville die irrationalste aller Zahlen.
http://home.arcor.de/richardon/richy200 ... /index.htm
Punkt 2 spiegelt sich auch in der Kettenbruchentwicklung von phi wieder :
Solche verketteten Funktionen gehoeren abgesehen von Leonard Euler und Srinivasa Ramanujan nicht zum Standardreperoire der Mathematiker. Daher wird die Zahl vielleicht auch eher als Kuriosum betrachtet.
Srinivasa Ramanujan :
http://www.wdr.de/tv/quarks/sendungsbei ... _genie.jsp
Bezeichnend ist, dass Ramanujan sich im Selbststudium seine mathematischen Faehigkeiten beibrachte. Somit nicht mit dem Standardrepertoire.
Der goldene Schnitt ist jedoch der "regulaerste" aller Kettenbrueche und die Verkettung ueber die Fib Zahlen sehr einfach herleitbar :
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) / durch fib(n-1) / Sunbstituieren u(n)=fib(n)/fib(n-1)
fuehrt auf
u(n+1)=1+1/u(n)
Fuehrt man die Verkettung durch erhaelt man den Kettenbruch des godenen Schnittes
Bemerkenswert ist vielleicht noch, dass man die nichtlineare DZGL u(n+1)=1+1/u(n) nun natuerlich analytisch Loesen kann (ueber die Formel von Binet) :
A) u(n) = (Phi^(n+1)-phi^(n+1)) / (Phi^n-phi^n))
(phi=Phi-1, daher phi<1 und die Potenz strebt im Grenwert gegen Null. Bleibt Phi^(n+1)/Phi^n=Phi)
Hier erkennt man die allgemeine dritte bonomische Formel ,die man in eine gepometrische Reihe entwicken kann und sieht :
Ebenso laesst sich folgende Kettenwurzel herleiten :
Der goldene Schnitt stellt eine Moeglichkeit dar komplexe Zusammenhaenge einfach herzuleiten. Die Fib Zahlen spielen hier eine entscheidende Role und ich wuerde diese als ein Gegenstueck zu den Mersenne Primzahlen betrachten im Sinne einer Addition. Das drueckt fuer mich z.B. das Theorem von Zeckendorf aus.
Ebenso finden sich die Fib Zahlen im Pascalschen Dreieck und und und ...
Mit Fibonaccizahlenforschung wird man allerdings kaum neues entdecken, denn dafuer sind diese schon zu lange bekannt. In der Musik scheint der goldene Schnitt uebrigends kaum Rolle zu spielen.
Hier habe ich vielleicht einen allgemeinen Zusammenhang gefunden. Es zeigt sich naemlich, dass die Primfaktoren der Fib Zahlen Zipf verteilt sind, so wie die Ereignisse von Musik Stuecken.
Goldener Schnitt und Kreis ? Dazu faellt mir leider spontan nichts ein.
Gruesse