ralfkannenberg hat geschrieben:ralfkannenberg hat geschrieben:Definition:
Die geometrische Reihe zur Zahl a mit 0 <= a < 1 ist wie folgt definiert:
geometrische Reihe(a) := a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...
(...)
Theorem 1:
Sei 0 <= a < 1.
Dann hat die geometrische Reihe von a den Wert a/(1-a), d.h. es gilt:
a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... = a/(1-a)
Beweis:
Sei G: = a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...
Betrachten wir a*G:
Sei a*G = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ...
Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
G - a*G = a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein ak "nachrückt"
Klammern wir auf der linken Seite G aus:
G*(1-a) = a
Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:
G = a/(1-a), was zu zeigen war.
Natürlich ist dieser Beweis zwar verständlich, aber auch hässlich, da wir sehr grosszügig mit Unendlichkeiten operieren und "einfach so" beliebige ak "nachrücken" lassen.
Hallo zusammen,
wir haben per definitionem ja dafür gesorgt, dass 0 <= a < 1 gilt. Obiger Beweis tangiert diese Einschränkung aber eigentlich gar nicht, sieht man einmal davon ab, dass im letzten Schritt durch (a-1) dividiert wird, was für a=1 natürlich nicht geht.
Deswegen habe ich hier noch zwei weitere Fragen, mit denen wir uns auch noch beschäftigen müssen:
1. warum klappt dieser "Beweis" nicht für z.B. a=2 ?
2- was für "hübsche" Sachen passieren eigentlich bei a=1, ausser dass man nicht durch (1-a) dividieren darf ?
Freundliche Grüsse, Ralf