Struktron hat geschrieben:Mein eigener Hinweis dort, dass das (nach noch vielem Lernen) bis zu den Renormierungen von Feldtheorien führen kann, erfordert aber erst mal ein besseres Verständnis der Grundlagen (hier?)
Hallo Lothar,
schön, dass Du Dich hier zu Wort meldest. Was Renormierungen von Feldtheorien anbelangt, so werden wir das in diesem Rahmen natürlich nicht einmal ansprechen können, aber eben: die Grundlagen - auf die kommt es mir an.
In den richtigen Zusammenhang eingeordnet: die Differentialrechnung beschreibt Veränderungen im sehr kleinen, also das lokale Verhalten von Funktionen. Und wenn man das gesamte Verhalten wissen will, so muss man eben alle diese lokalen Verhalten geeignet aufsummieren.
Das Betrachten des lokalen Verhaltens einer Funktion nennt man Differenzialrechnung, weil man Veränderungen bzw. "Differenzen" - genauer: die "Differentiale" betrachtet, und das Aufsummieren nennt man dann "Integrieren".
Nun habe ich schon die beiden Fachbegriffe genannt und der Hauptsatz besagt im Wesentlichen, dass die Aufsummierung aller Veränderungen wieder die Funktion selber ergibt. Das klingt eigentlich sehr banal, doch das auf eine exakte Grundlage zu bringen ist erst den grossen Gelehrten Newton und Leibniz gelungen.
In diesem Thread sprechen wir über den
Differenzenquotienten. Ganz wichtig: wir sprechen nicht über den
Differentialquotienten. Es ist enorm wichtig, dass wir uns dessen immer bewusst sind, dass das zwei zwar nahe verwandte aber dennoch
verschiedene Begriffe sind.
Zu Beginn treffen wir eine Konvention; diese ist zwar nicht nötig, wir wollen uns aber dennoch daran halten: x
1 < x
2, also nicht umgekehrt. Zudem sind beide verschieden, da wir nicht durch 0 dividieren wollen. Es gibt genügend viele kleine echt positive reelle Zahlen, um die sich diese beiden Zahlen unterscheiden können, und da sind auch beliebig kleine dabei, und zwar viele. Sehr viele. Überabzählbar unendlich viele.
Nun also definieren wir den Differenzenquotienten:
Sei f(x) eine geeignet definierte Funktion (was auch immer "geeignet" heissen soll). Der Differenzenquotient von f(x), x
1 und x
2 ist dann wie folgt definiert:
D
f (x1,x2) := ( f(x
2) - f(x
1) ) / ( x
2 - x
1 ).
Wir wollen diesen Differenzenquotienten nun ein bisschen kennenlernen, und zwar für 5 ganz einfache Funktionen. Für den Beginn wählen wir x
1 = 0 und x
2 = 1.
Seien:- f1(x):=0 die Nullfunktion
- f2(x):=1 die kontante Funktion (die wir der Bequemlichkeit halber zu 1 normieren)
- f3(x):=x die lineare Funktion
- f4(x):=2x ebenfalls eine lineare Funktion
- f5(x):=x² die quadratische Funktion
Übung: was sind die Differenzenquotienten dieser 5 Funktionen, jeweils für x
1 = 0 und x
2 = 1 ?
Freundliche Grüsse, Ralf
P.S. Über diese Funktionen haben wir uns übrigens auch schon hier unterhalten:
Über Null-, konstante und lineare FunktionenEDIT 13.05.2015, 12:04 Uhr:Zur genaueren Definition
(x1,x2) ergänzt, da der Wert des Differenzenquotienten im Allgemeinen von der Wahl der Punkte x
1 und x
2 abhängt