Dgoe hat geschrieben:trotz Nebensache, danke für den Hinweis. Beim "Ackermann-Funktion"-Artikel der Wikipedia findet man:
https://de.wikipedia.org/wiki/AckermannfunktionAb der vierten Zeile können die Funktionswerte nicht mehr mit herkömmlichen Operatoren formuliert werden; man braucht erweiterte Notationen, wie beispielsweise den
Hyper-Operator.
Hyper-Operator, cool. Welcher auch Tetration oder Superpotenz genannt wird. Dort geht es dann wieder mal um das Distributivgesetz und auch das Kommutativgesetz.
Hallo Dgoe,
ich habe mich weder mit der Ackermannfunktion noch mit den Hyper-Operatoren näher beschäftigt, das war lediglich Prüfungsthema für die Informatiker. Wir Mathematiker mussten lediglich die Vorlesung besuchen und die Übungen machen.
Wenn Dir aber diese Hyper-Notation mehr zusagt: meine Theorie beschäftigt sich für n < 0. Beachte aber, dass das n nur eine Nummerierung darstellt. Für n=-1 hast Du eine Art Nachfolgeoperator, hier kann man noch halbwegs mit klassischer Mathematik durchkommen; für kleinere n indes "entfremdet" man die Operation immer mehr von ihrem Neutralelement. Die Frage ist, ob das schlimm ist. - Ich jedenfalls habe das als schlimm empfunden und habe deswegen solche Neutralelemente axiomatisch eingeführt, und zwar solche, die für alle Elemente gleich sind. Solange das widerspruchsfrei erfolgt, kann ich das tun, weil in diesen "Bereich" ohnehin bislang niemand etwas hineindefiniert hat, es also keinerlei Konventionen gibt, an die ich mich halten müsste.
Allerdings klappt das für "n=-oo" nicht: eine solche Operation - falls es sie überhaupt gibt - muss Eigenschaften haben, aufgrund derer sie kein fixes Neutralelement haben kann. Allerdings kann man Absorptionselemente einführen und mit diesem "Trick" trotzdem noch ein entsprechendes "Element" definieren, welches also kleiner ist als alle anderen mit meiner Theorie konstruierbaren Elemente. An sich ähnlich wie auch -oo kleiner als alle reelle Zahlen ist.
Allerdings kann ich nicht verleugnen, dass ich den Ansatz, alle negative Zahlen mithilfe der Peano-Axiome zur Konstruktion der natürlichen Zahlen konstruieren zu können, auch sehr sympatisch ist. Und zwar keineswegs so, dass man zwei Mengen konstruiert - man kann ja die positiven ganzen Zahlen einschliesslich der Null mit den Peano-Axiomen konstruieren, danach auch die negativen Zahlen mit den Peano-Axiomen konstruieren und danach diese beiden Mengen vereinen. Dabei werden aber zwei Mengen konstruiert.
Man kann aber auch eine - nota bene beliebige - negative Zahl vorgeben, dann das Startelement genau dorthin legen und dann die Peano-Axiome, also an sich das Induktionsprinzip darüberlegen, dann erhält man eine Menge, die zusätzlich zu den natürlichern Zahlen auch noch eine - allerdings nur endlich Anzahl ! - negative Zahlen enthält.
Man erhält also nicht die komplette Menge aller ganzen Zahlen, aber man erhält eine Menge, die
alle negative Zahlen umfasst, die man dabei haben möchte. Ein Ansatz, der mir gefällt.
Bis jetzt widersprechen sich die beiden Ansätze nicht, d.h. mein Ziel wäre es, noch eine Zusatzannahme zu finden, die meine Theorie dann überflüssig werden lässt. Daran habe ich aber bislang noch nicht gearbeitet.
Freundliche Grüsse, Ralf