ralfkannenberg hat geschrieben:beim Tangentenproblem geht es darum, an eine stetige Kurve an einem beliebigen Punkt eine Tangente anzulegen.
Wieso genau sollte das nun ohne Unendlich nicht funktionieren? Täte es ich nicht auch eine sehr hohe Zahl, die endlich wäre genau so gut? Ich meine natürlich eine entsprechend so hohe Zahl, dass der Realität des Universums - angenommen es sei endlich - und allem darin befindlichen genüge getan wäre.
ralfkannenberg hat geschrieben:Ja, aber Vorsicht: Du konstruierst da "nur" ein maximales Element. Ein solches maximales Element kann wie bei den natürlichen Zahlen gegen unendlich divergieren oder aber wie bei der Lichtgeschwindigkeit gegen einen endlichen Wert konvergieren.
Zeta würde konvergieren.
Ok.ralfkannenberg hat geschrieben:Aus der Maximalität folgt also keinesfalls zwangsläufig eine Unendlichkeit !
ralfkannenberg hat geschrieben:Du kannst ins Makroskopische und ins Mikroskopische abzählbar gehen, also per Peano-Axiome -> oo und per Intervallschachtelung oder zunächst noch einfacher per Nullfolge {1/n mit n in IN} -> 0,
Das habe ich oben voneinander auch nicht ausgeschlossen, ja, mikroskopisch geht auch abzäglbar, musste ich schon dran denken. Nur überabzählbar makroskopisch geht nicht, sehe zumindest kein Beispiel...
ralfkannenberg hat geschrieben:oder aber in beide Richtungen per Kontinuum, d.h. mit einer überabzählbaren Menge.
Ja warte, nach oben fehlt überabzählbar. Auch wenn das symmetrischer wäre und Du meist Recht hast bei sowas, was entpräche dem denn dann?
Ja.ralfkannenberg hat geschrieben:Vielleicht anders dargestellt: die Folge {1, 2, 3, 4, 5, ...} führt Dich abzählbar zu oo, und die Folge ihrer multiplikativ Inversen, also {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} führt Dich abzählbar zur 0. Ob Du das nun noch mit dem Kontinuum "anreichern" möchtest und damit ins Überabzählbare gelangst bleibt letztlich Dir überlassen; wirklich brauchen tust Du das erst in der oben genannten Differential- und Integralrechnung, denn ohne den Stetigkeitsbegriff kannst Du für rationale Zahlen die Funktion f1(x) und für irrationale Zahlen die Funktion f2(x) definieren, und der Nachbarpunkt eines jeden x ist sowohl für die rationalen x als auch für die irrationalen x beliebig nahe.
Natürlich ist das technisch eine völlig absurde Situation, mathematisch aber ist sie möglich. Ja man sogar einen Integralbegriff definieren "Lebesgue-Integral"), bei dem dann nur die Funktionswerte der überabzählbar-unendlichen Menge zählen und die Funktionswerte der abzählbar unendlichen Menge als sogenannte Nullmenge nicht ins Gewicht fallen, ihre Summe also den Wert 0 annimmt.
Aber wie auch immer: mit einem sauberen Stetigkeitsbegriff kann einem so etwas nicht passieren, da hat man immer eine Funktion, die auf dem Kontinuum definiert ist und dort dieselbe Funktion zur Anwendung kommt, egal ob man eine abzählbare Teilmenge oder eine überabzählbare Teilmenge betrachtet.
Gruß,
Dgoe