nocheinPoet hat geschrieben:Unendlich ist keine imaginäre Zahl,
Hallo Manuel,
natürlich ist Unendlich keine imaginäre Zahl, aber das behauptet Hartmut auch gar nicht. Wobei ich zudem noch einwänden möchte, dass der lim
{x->oo} gegen "i*oo" divergiert, welches man durchaus als "unendlich" interpretieren könnte, beispielsweise bei einer Einpunkt-Kompaktifizierung der komplexen Zahlenebene, die man per stereographischer Projektion auf die Riemann'sche Zahlenkugel abbilden kann; dabei landen alle "unendlich fernen Punkte" auf dem Nordpol, und ja, das divergiert dann auch nicht, sondern das konvergiert sogar, und zwar zum Nordpol der Riemann'schen Zahlenkugel.
Aber diese Konvergenz zum Nordpol der Riemannschen Zahlenkugel ist gar nicht der Punkt von Hartmut, ihm schwebt eine ganz andere Konstruktion vor.
Sei zudem noch ergänzt, dass nicht nur i, sondern auch die beiden anderen Quaternionen j und k solche "imaginäre Einheiten" sind, und nimmt man die Oktaven dazu, dann auch l, m, n und o. Ok, bei den Oktaven verliert man weitere strukturelle Eigenschaften, d.h. diese bilden auch keinen Ring mehr, sondern nur noch eine "Divisionsalgebra", und weitere acht imaginäre Einheiten kommen dazu, wenn man das ganze zu den Sedenionen erweitert.
Aber einmal mehr: darum geht es in der Konstruktion, die Hartmut uns mitteilt, nicht.
Ich denke nicht, dass ich mir ein YouTube-Filmchen anschauen muss, um zu wissen, was unendlich ist und was insbesondere unendlich nicht ist. Ich werde es mir aber dennoch bei Gelegenheit mal anschauen und meinen Senf dazu abgeben.
nocheinPoet hat geschrieben:Wenn es keine Zahl ist, sicher auch kein imaginäre
Auch das ist richtig, doch auch das hat Hartmut nicht behauptet.
nocheinPoet hat geschrieben:Aber fraternisiere nur weiter, sei nur nicht eintäuscht, wenn der Kerl Dich wieder, weiter und überhaupt, übelst verbal angeht. Bedenke mal, nicht lange her, da hast Du Dich hier für Y. eingesetzt, und dann zeigte sich schnell, der ist weiterhin natürlich dein Drecksack.
Immerhin hat Yukterez es geschafft, das Missverständnis, dem ich aufgesessen war, darzulegen.
Insbesondere möchte ich mich an dieser Stelle weder für noch gegen jemanden einsetzen, es geht mir darum, diesen Ansatz in eine korrekte Form zu bringen, und ich denke, das ist mir nun auch gelungen, wenngleich auch etwas anders, als ich zunächst dachte, was aber nicht schlimm ist.
Gehen wir mal zurück zum Fachlichen: ein Vektorraum ist kein Körper, d.h. in einem Vektorraum hat man ganz andere Möglichkeiten als in einem Körper. Insbesondere bietet Dir ein Vektorraum die Möglichkeit, linear unabhängige "Vektoren" zu beschreiben. Etwas sehr salopp gesagt besteht die Multiplikation bei einem Körper darin, zwei "Zahlen" miteinander zu multiplizieren, während bei einem Vektorraum keine Vektoren multipliziert werden. - Ok, es gibt das "Vektorprodukt", doch gehört dieses nicht in den Kontext eines Vektorraums. Im Vektorraum werden bei der Produktbildung Vielfache und keineswegs Produkte erzeugt, d.h. man kann die Vektoren mit Elementen des Körpers, über den der Vektorraum aufgespannt ist, multiplizieren. Dieser Körper ist oftmals ein Zahlkörper, z.B. IR, braucht es aber nicht zu sein.
In seltenen Fällen gelingt es, aus einen Vektorraum einen Körper zu bilden, indem man noch eine weitere Multiplikation zwischen "Vektoren" definiert, beispielsweise im Vektorraum {1, √2}, der über IQ aufgespannt ist, muss man noch √2*√2 geeignet definieren, beispielsweise zu 2. Oder i*i zu -1 im Vektorraum {1, i}, der über IQ aufgespannt ist, oder im Falle der komplexen Zahlen über IR aufgespannt ist.
Wie wir also gesehen haben bieten Vektorräume insgesamt mehr Möglichkeiten. Warum also nicht einen zusätzlichen Vektor einführen, der linear unabhängig ist und in eine Richtung weist, die man "+oo" nennt ? Nun ergeben sich diverse Probleme, denn 0*"+oo" wäre naN, man müsste wegen der Körpereigenschaft der Vielfachen auch noch "-oo" in diese Dimension hineinpacken und wirklich befriedigend ist das nicht.
Es geht aber viel einfacher: die Komponente IR erfüllt schon alle Körpereigenchaften, d.h. eigentlich benötigt man hier gar keine Vielfachen. Anders bei der Komponente "+oo", denn da bringen uns diese Vielfachen in Schwierigkeiten. Mit Vorteil wählt man also einen anderen Vielfachenkörper.
Und da bietet sich die F
2 an, der Körper, der nur aus den Elementen {0, 1} besteht.
Der Hartmut'sche oder der (wie ich vermute) Kahan, Coonen und Stone'sche Vektoraum, der aus den Komponenten {1, +oo, -oo, naN} besteht, ist vermutlich keineswegs über IR aufgespannt, sondern wie ich vermute über die F
2. Um Missverständnisse zu vermeiden schreibe ich die Elemente der F
2 in
blauer Schrift, also {
0,
1}.
Was bedeutet nun, wenn
0 mit dem Element einer Komponente multipliziert wird ? - Nun, das bedeutet nicht "0" oder "naN", sondern das bedeutet, dass diese Komponente nicht vorhanden ist. Und eine Mulriplikation mit
1 bedeutet, dass diese Komponente vorhanden ist.
In diesem Vektorraum bekommen alle Zahlen x die Darstellung (x, 0, 0, 0), +oo die Darstellung (0, 1, 0, 0), -oo die Darstellung (0, 0, 1, 0) und naN die Darstellung (0, 0, 0, 1).
Addiert wird wie in jedem Vektorraum komponentenweise und die Vielfachenbildung erfolgt durch Multiplikation mit einem Element aus {
0,
1}.
Freundliche Grüsse, Ralf