Hallo
Sciencewoken,
vielleicht versucht Ihr es mal ohne gegenseitige Herabwürdigungen; wenn ich mir fachlich Gedanken mache, wie man das algebraisch sauber hinkriegt, habe ich in der Regel keine Lust auf Eure gegenseitigen Komplimente.
(1+1/n)^n konvergiert nur im Bereich der posotiven reellen Zahlen ohne 0 und +Unendlich zur Eulerschen Zahl.
So ist es: bei einem Grenzwert ist das Verhalten im Unendlichen von Relevanz, nicht das Verhalten der ersten nur endlich vielen Folgenglieder.
1^+Unendlich ergibt Undefiniert, das ist die logische Konsequenz daraus und wurde auch genauso festgelegt.
Ob das wirklich die logische Konsequenz daraus ist weiss ich nicht, das Problem ist, dass man im Allgemeinen nicht beweisen kann, wohin lim
{x->1,n->oo}(x^n) konvergiert, d.h. dazu gibt es kein Konvergenzgesetz. Und mit der Euler'schen Zahl hat man ja auch ein Gegenbeispiel. Selbst wenn man das irgendwie "workarounden" könnte, z.B. indem man irgendwie passende e-Konvergenzen definiert, so lässt sich dennoch kein Konvergenzgesetz für Exponenten beweisen, im Gegensatz zu Konvergenzgesetzen für Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und mit höchstens endlich vielen Ausnahmen Divisionen.
Dass das dann so festgelegt wird ist natürlich naheliegend.
Etwa auf die selbe Art (aus Konsequenzen) wurden auch andere (Ausnahme) Axiome fesgelegt und die betreffen in unendlichen Zahlenbereichen erst mal nur die 0 im Nenner (nicht annähernd 0 egal ob positiv oder negativ, sondern definitiv 0) und erst daraus ergeben sich weitere Ausnahme Axiome, wie man mit den drei (zwei) sich daraus ergebenden Zahlenkörpern umgeht.
Das Problem ist, dass es keinen Zahlenkörper ergibt. Der von Dir vorgeschlagene Ansatz liefert einen Vektorraum, wobei es mir immer noch nicht gelungen ist, diesen widerspruchsfrei aufzuschreiben.
+Unendlich und -Unendlich sind nicht abhängige oder unabhängige Achsen, es ist exakt nur eine einzige Achse, deren Mittelpunkt Undefiniert ist, wofür es aber einen eigenen Zahlenkörper gibt.
Das habe ich bei meinem Ansatz IR ⊕ P3 versucht, aber leider geht es nicht auf. Zweifelsohne wäre es der eleganteste Ansatz.
Ich habe noch zwei weitere Ansätze versucht, nämlich IR ⊕ P2 ⊕ P2 mit P2 = {+oo, naN} bzw. {-oo, naN} sowie IR ⊕ P1 ⊕ P1 ⊕ P1 mir P1 = {+oo} bzw. {-oo} bzw. {naN}, aber auch das geht bislang nicht auf.
Wieso sagt man es nicht einfach?
Weil es kein Körper-Ansatz, sondern ein Vektorraum-Ansatz ist.
Die Axiome ergeben sich nicht daraus, wie man etwas möchte, sondern daraus, welcher Umgang am sinnvollsten ist.
Das sind dann aber Definitionen und keine Axiome, auch wenn zahlreiche Begriffe entsprechend historisch vorbelegt sind wie die Wortwahl "Peano-Axiome", "Gruppenaxiome", "Ringaxiome", "Körperaxiome" u.v.m.
Ralf hat geschrieben:ich weiss nicht, ob man eine endliche Summe von +oo zu "naN" definieren möchte.
Ja natürlich möchte man das, weil es sinnvoll ist.
Vorsicht, ich meine etwas anderes: ist es sinnvoll, "+oo" + "+oo" + ... + "+oo" = 0 (p-mal) zu definieren ? Ich persönlich denke nicht, aber genau das passiert, wenn man den Vektorraum über eine der F
p mit p eine Primzahl aufspannt.
Also ganz konkret über der F
2 gilt dann "+oo" + "+oo" = 0.
Das ist ja der Trick. 0*Unendlich ist axiomatisch Undefiniert und damit nicht mehr Teil des Unendlich-Zahlenkörpers. Schlimm wird es, wenn man im Uendlich-Zahlenkörper zwei identische Zahlen voneinander abzieht, das ergäbe nämlich 0. Da aber die Statistik (also die Zahlenkörper Unendlich und Undefiniert) und damit a und b für das Ergebnis uninteressant sind, hielt man oo - oo = naN für einzig sinnvoll.
Dem ist auch zuzustimmen, denn ("+oo"+x) - "+oo" würde arithmetisch x ergeben, und zwar für alle x, d.h. man hätte "+oo" - "+oo" = x für alle x, und
genau das ist das Verhalten von naN.
Mit Potenzen und Wurzeln (also Kehrwert-Potenzen) verfuhr man genau so
Das ist ein Thema für sich, das ich mir noch nicht näher angeschaut habe, gleiches gilt auch für Logarithmen.
und selbst wenn die Zahlenkörper Unendlich und Undefiniert heute kein bisschen Bedeutung mehr haben mögen, so führten sie damals zu den sinnvollen wohldefinierten Rechen-Axiomen mit Undefiniert und Unendlich, die bis heute gültig sind und das nicht bloß für Computer.
Für den Computer ja; auf eine mathematisch tragfähige Grundlage indes konnte ich es noch nicht stellen, auch wenn mir der Vektorraum-Ansatz nach wie vor hoffnungsvoll erscheint. In Vektorräumen hat man viele Freiheiten - man muss diese nur richtig nutzen.