das Ziffernblatt einer Uhr: Restklassen mal anders

[Herr Senf]

1. zeige, dass ³√p irrational
2. zeige, dass ³√(p²) irrational

Uff, jetzt aber, also so sei

1. ³√p = a/b
2. ³√(p²) = a/b

woran scheitert's? an der Beliebigkeit:

1. hier am "wenn, dann", wenn a geradzahlige Anzahl von Primfaktoren hat, muß b ungeradzahlig sein haben oder umgekehrt
2. hier am "entweder, oder", entweder a und b sind haben beide geradzahlig, oder beide ungeradzahlig

Diese Einschränkungen lassen mich grübeln, Mathesprech braucht Zeit!
Grüße Senf
edit 12:15 auf haben

[ralfkannenberg]

woran scheitert's? an der Beliebigkeit:

1. hier am "wenn, dann", wenn a geradzahlige Anzahl von Primfaktoren hat, muß b ungeradzahlig sein oder umgekehrt
2. hier am "entweder, oder", entweder a und b sind beide geradzahlig, oder beide ungeradzahlig

Hallo Herr Senf,

was ist die allgemeine Wortwahl für "gerade" Zahl ?

Oder anders gefragt: welchen Rest belässt eine ungerade Zahl bei der Division durch welche Zahl ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Herr Senf]

Hallo Ralf,
wollte so kurz wie möglich schreiben, das Privatsprech ist wohl irreführend,
ich meine mit geradzahlig/ungeradzahlig nur die Anzahl der Primfaktoren in a oder b,
also in Produktdarstellung besser so A=(a1*a2*...) und nicht A oder B selbst.
Solange keine "2" drin ist, sind A und B sowieso ungerade.
War das dein Einwand, oder sollte ich über einen Hinweis grübeln?
Habe oben das mögliche Mißverständnis editiert.
Bis heute Abend - Grüße Senf

[ralfkannenberg]

Hallo Herr Senf,

auch wenn ich es im Detail noch nicht durchgeführt habe, so dürfte es doch auf das folgende hinauslaufen:

bei den Quadratwurzeln wurde der Beweis darüber geführt, dass alle Primfaktoren von a und b aus dem Quotienten a/b im Quadrat vorkommen müssen, also doppelt oder vierfach oder so, also geradzahlig.

Wenn wir die Kubikwurzeln prüfen, so wird das doch darauf hinauslaufen, dass alle Primfaktoren von a und b dreifach oder sechsfach oder so vorkommen, also in einer durch 3 teilbaren Zahl. Tja, und dabei bleiben dann p ebenso wie p² beim Vergleich der beiden Primfaktorzerlegungen "übrig".

Und ja, Vorsicht: beim rein-algebraischen Beweis spielte dieses "durch k teilbar" beim Radikanden, also der Zahl unter der Wurzel, eine Rolle, nun spielt dieses durch k teilbar Sein bei der k.-ten Wurzel eine Rolle. Das sind also verschiedene Beweisideen, die einfach nur dieselbe mathematische Technik des durch k teilbar Seins nutzen.

Das nun noch korrekt ausformuliert sollte meines Erachtens den Beweis ergeben.

Teil 2 kannst Du übrigens bedenkenlos auf ein Produkt zweier Primzahlen verallgemeinern: wenn diese gleich sind, dann hast Du das Quadrat, also p², sonst eben p₁ * p₂. Am Beweis ändert sich dadurch nichts, die beiden bleiben in beiden Fällen übrig, egal ob sie nun gleich sind oder verschieden.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo 27,

Du mußt nur die erste Primzahl "sehen", die ungerade dort steht, also 1x, 3x usw.
Die 3x sind ja auch nur 2x + 1x, also eine ist nicht "gepaart", das war's schon.

Hm, warum einfach, wenn es auch kompliziert geht...
Vielen Dank, 27! Du meinst echt, das reicht!?

Gut. Wahrscheinlich funktioniert meine 'Kontruktion' sowieso nicht zuverlässig.

Gruß,
Dgoe

[Herr Senf]

So nun ist es spät genug.
Hallo Ralf,
ich hab mich bei deiner ³√p-Frage wohl durch die Rückzitierung verladen lassen
Die √p hatten wir ja gemacht über die Anzahl aller Primfaktoren links und rechts von p*b² = a², links ungerade, rechts gerade.
Das war im Widerspruch zur Eindeutigkeit der Zerlegung. Bei ³√p hab ich's aufgrund deiner Bezugnahme genauso versucht.
Ich denke, das geht aber nicht, die Zweifel hatte ich ja schon heute früh angedeutet, also bleib ich bei dieser "Intuition".

Bei √p hätte man auch so argumentieren können: p*b²=a², also teilt p Ia² und als prim dann auch Ia.
Damit machen wir es nur über p als Teiler oder Vielfaches, nicht über die Gesamtanzahl, auf der rechten Seite haben wir also 2*p in a².
Da a/b teilerfremd sein sollten ist in b kein p drin, damit haben wir links nur 1*p - Widerspruch zur Eindeutigkeit der Zerlegung.

Und für ³√p scheint es nur so zu funktionieren: p*b³ = a³, also teilt p Ia³ und damit auch Ia.
Auf der rechten Seite haben wir also 3*p in a³, in b ist kein p drin, also links nur 1*p und Widerspruch.

Kann man allgemein weiterspielen für ^x√p - Gute Nacht Senf

[ralfkannenberg]

Behauptung √p = irrational
Gegenbehauptung √p = rational, demzufolge wäre √p = a/b möglich
einfach quadrieren p = (a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)²/(b1*b2*...)² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)²*p = (a1*a2*...)²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b²,p)=A(a²) sein
aber ()² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)²=(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5) hat gerade Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b²*p ist eine ungerade Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: √p kann nicht rational sein

Baut aber darauf auf, daß es für jede Zahl nur eine Möglichkeit der Primfaktorzerlegung gibt.

Hallo Herr Senf,

vielleicht stehe ich ja nun völlig auf dem Schlauch, aber ich würde es so machen, ich formuliere es bewusst in völliger Analogie zu Deinem Beweis im Falle der Potenz 2; die Ergänzungen habe ich blau bold markiert.

Behauptung ³√p = irrational
Gegenbehauptung ³√p = rational, demzufolge wäre ³√p = a/b möglich
einfach quadrieren in die 3.Potenz nehmen p = (a/b)*(a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)³²/(b1*b2*...)³² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)³²*p = (a1*a2*...)³²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b³²,p)=A(a³²) sein
aber ()³² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig durch 3 teilbar sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)³²=(2*3*5)*(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5*2*3*5) hat gerade eine durch 3 teilbare Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade durch 3 teilbare Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b³²*p ist eine ungerade nicht durch 3 teilbare Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: ³√p kann nicht rational sein

Baut aber darauf auf, daß es für jede Zahl nur eine Möglichkeit der Primfaktorzerlegung gibt.

Bemerkung:
Der Beweis läuft identisch gleich, wenn man statt p Primzahl p das beliebige Produkt zweier Primzahlen verwendet, dann steht in der drittletzten Zeile - Ergänzung in bold grün:

links ist der Widerspruch: B=b³²*p₁*p₂ ist eine ungerade nicht durch 3 teilbare Anzahl von Primfaktoren.

Insbesondere kann auch p₁ = p₂ sein, dann haben wir gezeigt, dass gilt:

³√p² kann nicht rational sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Du mußt nur die erste Primzahl "sehen", die ungerade dort steht

Das passt tatsächlich immer, empirisch lange rumprobiert.

Also,

Behauptung:
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.

Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational. (= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)

Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.

was ich noch irgendwie witzig finde: der Beweis funktioniert ja identisch gleich, wenn p das Produkt von einer ungeraden Anzahl Primzahlen ist.

Ja, Du meinst hier wie oft Primzahlen insgesamt vorkommen, unabhängig derer Exponenten, oder wie oft unterschiedliche Primzahlen.
Beispiele:
2³*3² sind insgesamt 5 Primzahlen (ungerade, Folgerung 1), und/oder da die Exponenten nicht alle gerade sind, ist die Quadratwurzel irrational.
2²3²5³ sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), min. 1 Exponenten ungerade = irrationale sqrt
2²3²5² sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt

Hingegen kriegt man ihn nicht hin, wenn p das Produkt von einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist.

Ich finde schon - gut der Kontext bezieht sich auf den Beweis, aber hier mal untersucht mit 2 Beispielen:
2²*3² sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3³ sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), min. ein Exponenten ungerade = irrationale sqrt

Hinweis:
Gleicher Primzahlen geht im Falle der geraden Gesamtzahl natürlich nicht, denn hier kann es vorkommen, dass die Wurzel daraus rational ist: sqrt(p1p1p2p2) ist ja gleich p1p2.

Wieso, geht schon, wenn es nur darum geht herauszufinden, ob irrtional oder nicht. Besonders bei größeren unübersichtlichen Zahlen braucht man das nicht kürzen erst. Ich weiß, der Kontext galt dem Beweis, aber ich nutze die Zitate gerade mal als Checkliste.

Bei ungerader Anzahl indes dürfen auch beliebig viele gleiche Primzahlen vorkommen.

Du meinst bei ungerader Anzahl verschiedener Primzahlen, nun ja, je nachdem, siehe oben.

Vorsicht: im Falle des Produktes einer ungeraden Anzahl von Primzahlen dürfen die Primzahlen beliebig sein, also auch dieselbe Primzahl mehrfach vorkommen, während im Falle des Produktes einer geraden Anzahl von Primzahlen diese verschieden sein müssen.

Den Nebensatz habe ich nicht verstanden, es gibt ja soviel was gerade/ungerade sein kann,
- die Zahl selber (unwichtig)
- die Primzahl, nur 2 ist gerade (unwichtig)
- die Anzahl unterschiedlicher Primzahlen (nicht relevant)
- die Gesamtanzahl an Primzahlen (relevant)
- die Anzahl gleicher Primzahlen, bzw. der Exponent der jeweiligen Primzahl (entscheidend)

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hallo,

ich hatte ja bis hier versucht auf empirischen Wege die passenden Regeln zu finden. Dort dann zuletzt meine Regel (6) noch eingefügt, um Gegenbeispiele auszumerzen. Dies hatte das ganze natürlich vereinfacht wieder - wollte nur mal sagen, dass mir das schon aufgefallen ist. Somit war klar, dass wenn 2 in ungerader Anzahl vorkommt (Exponent), dass das Resultat schon gleich irrational ist.

Irgendwann wäre mir beim Testen auch aufgefallen, dass selbst wenn 2 gerade vorkommt und die anderen Primzahlen auch in gerader Gesamtanzahl vorkommen, das Resultat dennoch irrational ist, wenn sich beispielsweise deren Anzahl aus 1x + 3x zusammensetzt. Ich bin sicher, dass ich letztlich irgendwann die korrekte Regel herausgefiltert hätte. Aber nun kenne ich sie ja schon, ...

Von daher fand ich meinen empirischen Ansatz gar nicht so schlecht, um den mal zu verteidigen. Immerhin habe ich nicht in einem Buch oder Board nachgesehen - und was ich auch immer gelesen hatte, dazu keine Erinnerung mehr gehabt. Einzig den Hinweis der Primfaktorzerlegung hatte ich von Herrn Senf aufgegriffen.

Zum Beweis dann, wäre ich wohl nicht so ohne weiteres gekommen, aber immerhin bis zu einer empirisch gesicherten Behauptung.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ich hatte ja bis hier versucht auf empirischen Wege die passenden Regeln zu finden. Dort dann zuletzt meine Regel (6) noch eingefügt, um Gegenbeispiele auszumerzen. Dies hatte das ganze natürlich vereinfacht wieder - wollte nur mal sagen, dass mir das schon aufgefallen ist. Somit war klar, dass wenn 2 in ungerader Anzahl vorkommt (Exponent), dass das Resultat schon gleich irrational ist.

Irgendwann wäre mir beim Testen auch aufgefallen, dass selbst wenn 2 gerade vorkommt und die anderen Primzahlen auch in gerader Gesamtanzahl vorkommen, das Resultat dennoch irrational ist, wenn sich beispielsweise deren Anzahl aus 1x + 3x zusammensetzt. Ich bin sicher, dass ich letztlich irgendwann die korrekte Regel herausgefiltert hätte. Aber nun kenne ich sie ja schon, ...

Von daher fand ich meinen empirischen Ansatz gar nicht so schlecht, um den mal zu verteidigen. Immerhin habe ich nicht in einem Buch oder Board nachgesehen - und was ich auch immer gelesen hatte, dazu keine Erinnerung mehr gehabt. Einzig den Hinweis der Primfaktorzerlegung hatte ich von Herrn Senf aufgegriffen.

Zum Beweis dann, wäre ich wohl nicht so ohne weiteres gekommen, aber immerhin bis zu einer empirisch gesicherten Behauptung.

Hallo Dgoe,

diesen empirischen Ansatz benötigt man aber irgendwie nicht, da wir sowohl vom Dedekind'schen Beweis als auch vom rein-algebraischen Beweis wissen, dass eine Quadratwurzel dann und nur dann rational ist, wenn der Radikand, also die Zahl unter der Wurzel, eine Quadratzahl ist.

Diese Regel ist ja sehr einfach und da braucht man auch keine umständlichen Primfaktorzerlegungen zu bilden und nachzuzählen.


Freundliche Grüsse, Ralf