Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[ralfkannenberg]

ich würde den gerne noch machen, später (nachher/morgen...), liefer den noch nach, mach ruhig im Text weiter, wenn du magst und es nicht stört, wenn ich diesen einen Beweis noch nachliefere.

Hallo Dgoe,

lass Dir Zeit.


Tipp: der Beweis ist einfacher als derjenige der Irrationalität von ⁿ√3.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Ist ⁿ√2 irrational?

Annahme: Es existiert ein x ∈ von Q mit xⁿ = 2.

Das heißt x = p/q, p und q ∈ von Z und p und q haben keinen gemeinsamen Teiler 2.

Daraus folgt pⁿ/qⁿ = 2 und 2*qⁿ = pⁿ

Wenn pⁿ durch 2 teilbar ist, dann ist p auch durch 2 teilbar (Lemma 01).

Somit finden wir eine ganze Zahl m, so dass p = 2*m

Daraus folgt pⁿ = 2ⁿ*mⁿ = 2*qⁿ

Daraus folgt qⁿ = 2ⁿ*mⁿ/2 = 2*(2^n-2* mⁿ)

Daraus folgt q ist durch 2 teilbar.

Daraus folgt p und q sind durch 2 teilbar und haben also einen gemeinsamen Teiler 2, d.h. x = p/q hat einen gemeinsamen Teiler 2 - Widerspruch! Also ist jede Wurzel aus 2 keine rationale Zahl.

[ralfkannenberg]

Ist ⁿ√2 irrational?

Annahme: Es existiert ein x ∈ von Q mit xⁿ = 2.

Das heißt x = p/q, p und q ∈ von Z und p und q haben keinen gemeinsamen Teiler 2.

Daraus folgt pⁿ/qⁿ = 2 und 2*qⁿ = pⁿ

Wenn pⁿ durch 2 teilbar ist, dann ist p auch durch 2 teilbar (Lemma 01).

Somit finden wir eine ganze Zahl m, so dass p = 2*m

Daraus folgt pⁿ = 2ⁿ*mⁿ = 2*qⁿ

Daraus folgt qⁿ = 2ⁿ*mⁿ/2 = 2*(2^n-2* mⁿ)

Daraus folgt q ist durch 2 teilbar.

Daraus folgt p und q sind durch 2 teilbar und haben also einen gemeinsamen Teiler 2, d.h. x = p/q hat einen gemeinsamen Teiler 2 - Widerspruch! Also ist jede Wurzel aus 2 keine rationale Zahl.

perfekt

Zwei Anmerkungen:
1. sehr schön, dass Dgoe p und q "nur" so gewählt hat, dass sie keinen gemeinsamen Teiler 2 haben statt die Teilfremdheit zu bemühen
2. sehr schön, dass ganz zwanglos Lemma 01 angewandt wurde, wobei man hier allerdings auch problemlos umgangssprachlich argumentieren kann, dass das Produkt beliebig vieler ungerader Zahlen stets wieder ungerade ist

Grosse Klasse !


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

das Publikum klatscht begeistert

Danke, danke ...
der Autogrammstundetermin wird noch angesagt.

verneigt sich vor dem Publikum links, mitte und rechts

[ralfkannenberg]

Kleiner Einwurf: wieso reden wir in einem Integral-Thread über irrationale Wurzeln ? Hat der Thread-Ersteller womöglich die Übersicht verloren ?

[Herr Senf]

Ja es war ein Freitag, aber nicht der 13., der 1.Nov auf Seite 8 von 22:
viewtopic.php?f=26&t=943&start=70#p23489
Und wer hat mit "irrational" angefangen ....... sogar die Dreier-Uhr taucht noch auf.
Grüße Senf

PS: Auslöser waren "Dichtheit/Stetigkeit", das hat zur langen Beispielkette geführt, also echt "stetig" gewesen
Da könnte man wieder anknüpfen und mit dem Integrieren weitermachen.

[ralfkannenberg]

Ja es war ein Freitag, aber nicht der 13., der 1.Nov auf Seite 8 von 22:
viewtopic.php?f=26&t=943&start=70#p23489
Und wer hat mit "irrational" angefangen ....... sogar die Dreier-Uhr taucht auf.
Grüße Senf

Hallo Herr Senf,

Nö, das gesah in voller Absicht. Weisst Du auch, warum ?


Wir sind dann "nur" ein bisschen länger bei dieser Thematik verblieben, weil es gerade gut lief und zudem irgendein Diskussionsteilnehmer (wer war das nochmal ?) eine Liste mit 17 Beweisen, die den Dedekind'schen Beweis als erstes prominent enthielt, und danach jemand (erinnerst Du Dich noch, wer das war ?) auch noch einen Beweis über die Anzahl von Primfaktoren einbrachte.

Da beides hochinteressante Inputs waren, deren nähere Erörterung sich meines Erachtens gelohnt hat, sind wir eben ein bisschen länger bei diesem Thema verweilt. Das mit der Dreieruhr war tatsächlich ein bisschen unglücklich von mir gewählt, das war noch verfrüht. Kam hinzu, dass das ganze auch ohne anschaulichen Bezug zur Dreieruhr, der dann im Gegenteil leider vor allem für Verwirrung sorgte, sehr gut lief.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

PS: Auslöser waren "Dichtheit/Stetigkeit", das hat zur langen Beispielkette geführt, also echt "stetig" gewesen
Da könnte man wieder anknüpfen und mit dem Integrieren weitermachen.

Hallo Herr Senf,

das PS kam aber erst später dazu, als ich meine Antwort schon angefangen hatte.

Genau das ist es: wir haben gesehen, dass die rationalen Zahlen dicht gepackt in den reellen Zahlen liegen, aber nicht vollständig sind.

Das heisst, es gibt also Zahlen gibt, die nicht rational sind, und als Beispiel haben wir dann die √2 genannt, die man mit Zirkel, Lineal und Einheitsmassstab aus der Diagonale eines Quadrates mit Seitenlänge 1 konstruieren kann.

Diesen Beweis haben wir dann zunächst auf √3, √4 und √5 und nachfolgend auch noch auf ³√2 und ³√3 und schliesslich auf die ⁿ√2 und ⁿ√3 verallgemeinert. Es handelt sich aber jedesmal um dieselbe Beweisidee und im Thread algebraischer Beweis über Quadratwurzeln haben wir diese Beweisidee dann auch auf den allgemeinen Fall von Quadratwurzeln √n mit n keine Quadratzahl verallgemeinert.

Parallel dazu hast Du dann diese Liste mit 17 Beweisen genannt, aus der sich der ebenfalls in einen eigenen Thread ausgelagterte Dedekind'sche Beweis ergeben hat, der den allgemeinen Fall von Quadratwurzeln √n mit n keine Quadratzahl behandelt.

Nochmals parallel dazu hast Du dann diesen eleganten kurzen Beweis bezüglich der √p genannt, bei dem p eine Primzahl ist und bei dem die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung verwendet wird. Diesen Beweis habe ich dann zunächst auf √P mit P dem Produkt einer ungeraden Zahl beliebiger Primfaktoren verallgemeinert und danach noch auf ⁿ√p sowie ⁿ√P mit P dem Produkt von k Primfaktoren, wobei diese Zahl k nicht durch k teilbar ist.

Zudem konnten wir noch ein paar Aussagen zur algebraischen Abhängigkeit zeigen, so haben wir gezeigt, dass alle Ausdrücke der Form
p + q√2 mit p,q rational und q von 0 verschieden irrational sind. Gleiches gilt für p + q√3 und lässt sich ganz analog verallgemeinern.

Wir haben also nun zahlreiche irrationale Zahlen kennengelernt, jedoch ist der algebraische Abschluss aller dieser Zahlen - man nennt diese Menge dann die Menge der algebraischen Zahlen - nach wie vor gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen, so dass auch sie das Kontinuum, also die Menge der reellen Zahlen, bei weitem nicht abdecken können.


Ich freue mich sehr, dass nun solch ein lohnender Exkurs gelungen ist, auch wenn ich ihn nicht bei den Integralen auf Level 0 und in Folge davon beim Ziffernblatt einer Uhr erwartet hätte.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

meiner bescheidenen Meinung nach sind irrationale (und transzendente) Zahlen irgenwie keine echten Zahlen.
Denn niemand kennt sie und kann sie auch nicht kennen lernen, weil sie unendlich lang hinter dem Komma weitergehen*. Jede Darstellung, Berechnung ist also nur eine Annäherung und nie die "Zahl" selber. Mein Vorschlag, besser man nennt sie irrationale Qual oder so, aber nicht Zahl.
Insofern passt auch die Bedeutung 'unverständlich' und nicht nur 'ohne Verhältnis (zweier ganzen Zahlen)'.

Sollte ich mal dem Präsidenten der Mathematik schreiben *scherz* (inspiriert von irgendwo).

Gruß,
Dgoe


*: edit, mit verschiedenen Werten auch nicht nur im Zehnersystem...

[ralfkannenberg]

meiner bescheidenen Meinung nach sind irrationale (und transzendente) Zahlen irgenwie keine echten Zahlen.

Hallo Dgoe,

also ich bin doch sehr der Meinung, dass die Länge der Diagonale eine Quadrates mit Seitenlänge 1 eine "echte" Zahl ist.

Ebenso bin ich der Meinung, dass das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser eine "echte" Zahl ist.


Freundliche Grüsse, Ralf