Herr Senf hat geschrieben:PS: Auslöser waren "Dichtheit/Stetigkeit", das hat zur langen Beispielkette geführt, also echt "stetig" gewesen
Da könnte man wieder anknüpfen und mit dem Integrieren weitermachen.
Hallo Herr Senf,
das PS kam aber erst später dazu, als ich meine Antwort schon angefangen hatte.
Genau das ist es: wir haben gesehen, dass die rationalen Zahlen dicht gepackt in den reellen Zahlen liegen, aber nicht vollständig sind.
Das heisst, es gibt also Zahlen gibt, die nicht rational sind, und als Beispiel haben wir dann die √2 genannt, die man mit Zirkel, Lineal und Einheitsmassstab aus der Diagonale eines Quadrates mit Seitenlänge 1 konstruieren kann.
Diesen Beweis haben wir dann zunächst auf √3, √4 und √5 und nachfolgend auch noch auf
3√2 und
3√3 und schliesslich auf die
n√2 und
n√3 verallgemeinert. Es handelt sich aber jedesmal um dieselbe Beweisidee und im Thread
algebraischer Beweis über Quadratwurzeln haben wir diese Beweisidee dann auch auf den allgemeinen Fall von Quadratwurzeln √n mit n keine Quadratzahl verallgemeinert.
Parallel dazu hast Du dann diese Liste mit 17 Beweisen genannt, aus der sich der ebenfalls in einen eigenen Thread ausgelagterte
Dedekind'sche Beweis ergeben hat, der den allgemeinen Fall von Quadratwurzeln √n mit n keine Quadratzahl behandelt.
Nochmals parallel dazu hast Du dann diesen
eleganten kurzen Beweis bezüglich der √p genannt, bei dem p eine Primzahl ist und bei dem die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung verwendet wird. Diesen Beweis habe ich dann zunächst auf √P mit P dem Produkt einer ungeraden Zahl beliebiger Primfaktoren verallgemeinert und danach noch auf
n√p sowie
n√P mit P dem Produkt von k Primfaktoren, wobei diese Zahl k nicht durch k teilbar ist.
Zudem konnten wir noch ein paar Aussagen zur algebraischen Abhängigkeit zeigen, so haben wir
gezeigt, dass alle Ausdrücke der Form
p + q√2 mit p,q rational und q von 0 verschieden irrational sind. Gleiches gilt für p + q√3 und lässt sich ganz analog verallgemeinern.
Wir haben also nun zahlreiche irrationale Zahlen kennengelernt, jedoch ist der algebraische Abschluss aller dieser Zahlen - man nennt diese Menge dann die Menge der algebraischen Zahlen - nach wie vor gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen, so dass auch sie das Kontinuum, also die Menge der reellen Zahlen, bei weitem nicht abdecken können.
Ich freue mich sehr, dass nun solch ein lohnender Exkurs gelungen ist, auch wenn ich ihn nicht bei den Integralen auf Level 0 und in Folge davon beim Ziffernblatt einer Uhr erwartet hätte.
Freundliche Grüsse, Ralf