von ralfkannenberg » Dienstag 12. November 2013, 13:21
Hallo zusammen,
und jetzt wollen wir den Beweis noch rasch abschliessen:
1. Sei k eine ganze Zahl, die keine Quadratzahl ist
2. Sei k = k' * c2 mit c maximal, das heisst k' erhält man aus k, indem man alle Faktoren, die im Quadrat vorkommen, ausklammert.
Wir nehmen an, man könne die Quadratwurzel von k' als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Da man Brüche ja kürzen und erweitern kann, wollen wir diesen Bruch so kürzen, dass höchstens im Zähler oder im Nenner noch ein Faktor k' vorkommt, aber nicht in beiden.
Klappt das ? Ja, denn wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Faktor k' vorkommt, so kürzen wir den heraus; übrig bleibt ein Zähler, der echt kleiner ist als zuvor und ebenfalls ein Nenner, der echt kleiner ist als zuvor. Falls immer noch in beiden der Faktor k' vorkommt, so kürzen wir ihn ebenfalls heraus. Wir machen das solange, bis höchsten in einem der beiden noch ein Faktor verbleibt. Da bei jeder Kürzung eines Faktors k' sowohl Zähler als auch Nenner echt kleiner werden, garantieren uns die Peano-Axiome, dass dieser wiederholte Kürzungs-Prozess nach endlich vielen Schritten abgeschlossen ist.
Wir haben nun also einen Bruch, bei dem nicht gleichzeitig im Zähler und im Nenner ein Faktor k' stehen kann.
Sei dieser Bruch p/q, mit p und q ganze Zahlen, und k' nicht Faktor von p und von q.
Wir wissen: p2 / q2 = k', also p2 = k' q2. Ich nenne die Gleichung Nr.1 .
p2 ist also eine durch k' teilbare Zahl.
Dank Lemma 3 wissen wir, dass dann p ebenfalls eine durch k' teilbare Zahl ist.
Somit finden wir eine ganze Zahl m, so dass p = k' m. In Gleichung Nr.1 eingesetzt:
p2 = k'q2
(k'm)2 = k'q2
k'2m2 = k'q2
k'm2 = q2.
Also ist q2 eine durch k' teilbare Zahl. Nach Lemma 3 ist dann aber auch q eine durch k' teilbare Zahl.
Folglich sind p und q beides durch k' teilbare Zahlen, enthalten also beide einen Faktor k'.
Dies widerspricht der Annahme, dass k' nicht Faktor von p und q ist.
Somit ist die Annahme, man könne die Quadratwurzel von k' als Bruch schreiben, falsch.
Nun zur sqrt(k):
k' war so definiert, dass gilt: k = k' * c2
=> sqrt(k) = sqrt(k') * c
Wäre sqrt(k) eine rationale Zahl, so auch sqrt(k'), da sqrt(k') = sqrt(k) / c und der Quotient zweier rationaler Zahlen ebenfalls rational ist.
Somit ist auch sqrt(k) irrational.
Freundliche Grüsse, Ralf