Senf hat geschrieben:Du mußt nur die erste Primzahl "sehen", die ungerade dort steht
Das passt tatsächlich immer, empirisch lange rumprobiert.
Also,
Behauptung:
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.
Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational. (= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)
Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.
Ralf hat geschrieben:was ich noch irgendwie witzig finde: der Beweis funktioniert ja identisch gleich, wenn p das Produkt von einer ungeraden Anzahl Primzahlen ist.
Ja, Du meinst hier wie oft Primzahlen insgesamt vorkommen, unabhängig derer Exponenten, oder wie oft unterschiedliche Primzahlen.
Beispiele:
2³*3² sind insgesamt 5 Primzahlen (ungerade, Folgerung 1), und/oder da die Exponenten nicht alle gerade sind, ist die Quadratwurzel irrational.
2²3²5³ sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), min. 1 Exponenten ungerade = irrationale sqrt
2²3²5² sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
Ralf hat geschrieben:Hingegen kriegt man ihn nicht hin, wenn p das Produkt von einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist.
Ich finde schon - gut der Kontext bezieht sich auf den Beweis, aber hier mal untersucht mit 2 Beispielen:
2²*3² sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3³ sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), min. ein Exponenten ungerade = irrationale sqrt
Ralf hat geschrieben:Hinweis:
Gleicher Primzahlen geht im Falle der geraden Gesamtzahl natürlich nicht, denn hier kann es vorkommen, dass die Wurzel daraus rational ist: sqrt(p1p1p2p2) ist ja gleich p1p2.
Wieso, geht schon, wenn es nur darum geht herauszufinden, ob irrtional oder nicht. Besonders bei größeren unübersichtlichen Zahlen braucht man das nicht kürzen erst. Ich weiß, der Kontext galt dem Beweis, aber ich nutze die Zitate gerade mal als Checkliste.
Ralf hat geschrieben:Bei ungerader Anzahl indes dürfen auch beliebig viele gleiche Primzahlen vorkommen.
Du meinst bei ungerader Anzahl verschiedener Primzahlen, nun ja, je nachdem, siehe oben.
Ralf hat geschrieben:Vorsicht: im Falle des Produktes einer ungeraden Anzahl von Primzahlen dürfen die Primzahlen beliebig sein, also auch dieselbe Primzahl mehrfach vorkommen, während im Falle des Produktes einer geraden Anzahl von Primzahlen diese verschieden sein müssen.
Den Nebensatz habe ich nicht verstanden, es gibt ja soviel was gerade/ungerade sein kann,
- die Zahl selber (unwichtig)
- die Primzahl, nur 2 ist gerade (unwichtig)
- die Anzahl unterschiedlicher Primzahlen (nicht relevant)
- die Gesamtanzahl an Primzahlen (relevant)
- die Anzahl gleicher Primzahlen, bzw. der Exponent der jeweiligen Primzahl (entscheidend)
Gruß,
Dgoe