Hallo zusammen,
ich möchte wieder einmal die Tradition der mathematischen Dummie-Threads aufgreifen. In meinen Ferien habe ich zufällig einen sehr eleganten und einfachen Beweis gelesen, dass die Euler’sche Zahl e irrational ist. Der Beweis wurde vom berühmten Mathematiker Fourier geführt. Zwar ist die Irrationalität der Euler’schen Zahl nicht wirklich von Interesse – das Interesse liegt beim Nachweis der Transzendenz von e, der dem Mathematiker Hermite im Jahre 1873 gelang.
Dennoch denke ich, dass auch der Laie problemlos den Beweis der Irrationalität nachvollziehen kann und als ich diesen Beweis gesehen habe, habe ich ihn sofort in mein Repertoire der auswenig aufsagbaren Beweise übernommen. Bislang haben wir nur die Irrationalität von Wurzeln bewiesen, die wichtigsten zugehörigen Links finden sich hier, zudem sei auch auf diesen eleganten Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel einer Primzahl, den Herr Senf genannt hat, nochmals hingewiesen.
Während der Vorbereitung habe ich mir überlegt, wie man diesen Thread am zweckmässigsten gestalten könnte, und gestern abend kam mir dann die Idee, auch dieses Thema in zwei parallelen Threads zu erarbeiten, um uns nicht zu verzetteln: in diesem Thread werden wir unser Schwergewicht auf den algebraischen Teil setzen und all‘ die lästigen Fragen zur Wohldefiniertheit aussen vor lassen: im Gegensatz zu den Quadratwurzeln einer natürlichen Zahl, die sich nach dem Satz von Pythagoras aus Diagonalen von Rechtecken ergeben, oder auch als Nullstellen quadratischer ganzzahliger Polynome, ist die Euler’sche Zahl als unendliche Summe definiert, was natürlich allerlei Probleme beschert.
Auf "Dummie-Niveau" lassen sich diese Probleme allesamt recht einfach mit der "geometrischen Reihe" bewältigen, und da diese auch im Beweis der Irrationalität der Euler’schen Zahl wesentlich vorkommt, werde ich also einen parallelen Thread über die geometrische Reihe führen, dessen Schwergewicht also der analytische Teil sein wird. Erst kürzlich hatten wir eine Diskussion im astronews-Forum, die ebenfalls problemlos mit der geometrischen Reihe gelöst werden konnte; das war die Frage, ob 0.99999… gleich 1 sei. Selbstverständlich kann der Parallel-Thread über die geometrische Reihe auch für andere Fragestellungen unabhängig der Euler’schen Zahl genutzt werden.
Soviel mal zum Einstieg.
Freundliche Grüsse, Ralf